之前引入了若干临界指数$\{\alpha,\beta,\gamma,\delta,\nu,\eta,\dots\}$，分别刻画不同热力学函数的临界行为。注意到热力学函数之间存在各种关系，这些临界指数之间也不应该是独立的。本章旨在寻找这些临界指数间的关系，并找到为了描述临界点行为所需的最少独立临界指数的个数。

齐次性假设

描述热力学体系状态最重要的两个参数是温度$t$和外场$h$，在$(h,t)$图中，热力学函数的奇异性体现为在$h=0$、$t\leq0$处相共存线上的非解析性，它终结于临界点$(h_c=0,t_c=0)$。

齐次性假设

热力学函数$Q(t,h)$在该点附近的奇异性质就由各种临界指数刻画。一个基本的热力学函数是自由能（密度），鞍点近似给出的结果是

$f(t,h) = \min_{m}\left[ \frac{t}{2}m^2 + um^4 - hm \right] = \begin{dcases} -\frac{1}{16}\frac{t^2}{u} & h=0,t<0\\ -\frac{3}{4^{4/3}}\frac{h^{4/3}}{u^{1/3}} & h\neq0,t=0 \end{dcases}$

对应于临界指数$\beta = 1/2$和$\delta = 3$。

自由能的上述临界奇异性事实上可以用单独的一个$t$和$h$的齐次函数描述：

$f(t,h) = |t|^2 g_f\left( \frac{h}{|t|^\Delta} \right)$

这里引入了一个间隔指数$\Delta$。函数$g_f$仅仅依赖于变量的组合$h/|t|^\Delta$，且其渐近行为是

$g_f(0) \sim \frac{1}{u}\ ,\qquad \lim_{x\to \infty} g_f(x) \sim \frac{x^{4/3}}{u^{1/3}}$

特别地，由于$t=0$时函数$f(t,h)$应当不包含$t$依赖，这要求鞍点近似的结果中

$\Delta_{\rm sp} = \frac32$

齐次性假设是，自由能（以及其它任何热力学函数）的临界奇异性都保持齐次性，即假设它们的奇异部分的函数形式是

$f_{\rm singular}(t,h) = |t|^{2-\alpha} g_f\left( \frac{h}{|t|^\Delta} \right)$

具体的指数$\alpha$和$\Delta$取决于所考虑的临界点，$g_f(x)$的函数形式随所考虑的热力学量$f$而不同。对$t$的依赖形式是为了保证能给出$h=0$的零场热容的临界行为，具体来说，能量的奇异部分是（$t>0$）

$E_{\rm singular} \sim \frac{\partial f}{\partial t} \sim |t|^{1-\alpha} g_E\left( \frac{h}{|t|^\Delta} \right)$

热容的奇异部分是

$C_{\rm singular} \sim -\frac{\partial^2 f}{\partial t^2} \sim |t|^{-\alpha} g_C\left( \frac{h}{|t|^\Delta} \right)$

在$h=0$时就给出$C_{\rm singular} \sim |t|^{-\alpha}$。

当然，仅从匹配热容临界行为的角度出发，可以为$t<0$和$t>0$两个方向的临界行为分别定义不同的临界指数和齐次函数

$C_\pm = |t|^{-\alpha_\pm} g_\pm\left( \frac{h}{|t|^{\Delta_\pm}} \right)$

但是这种可能被热力学函数要在除共存线外处处解析的条件所排除。例如考虑一个$t=0$而$h$非零的点，根据假设$C$应当在此处完全解析，将其按$t$在该点附近展开为

$C(t\ll h^\Delta) = \mathcal A(h) + t \mathcal B(h) + \mathcal O(t^2)$

另一方面，由于$C_+$和$C_-$只是函数$C$在临界点附近的主导部分（奇异部分），那么当$h$足够小时，上面的展开结果应该同样可以由$C_\pm$的展开得到，根据

$C_\pm = |t|^{-\alpha_\pm} \left[ A_\pm\left( \frac{h}{|t|^{\Delta_\pm}} \right)^{p_\pm} + B_\pm\left( \frac{h}{|t|^{\Delta_\pm}} \right)^{q_\pm} + \cdots \right]$

比较可得

$p_\pm \Delta_\pm = -\alpha_\pm\ ,\qquad q_\pm \Delta_\pm = -(1+\alpha_\pm)$

也就是

$C_\pm(t\ll h^\Delta) = A_\pm h^{-\alpha_\pm/\Delta_\pm} + |t| B_\pm h^{-(1+\alpha_\pm)/\Delta_\pm} + \cdots$

为了保证在$t=0$处的连续性，需要

$\alpha_+/\Delta_+ = \alpha_-/\Delta_-\ ,\qquad (1+\alpha_+)/\Delta_+ = (1+\alpha_-)/\Delta_-$

也就是

$\begin{dcases} \alpha_+ = \alpha_- = \alpha\\ \Delta_+ = \Delta_- = \Delta\ \end{dcases}$

并适当地选取展开系数，就与$C$的展开式一致。上述结论对任何热力学函数都是适用的。

指数恒等式

从自由能出发，可以计算其他热力学量，最重要的两个是：

序参量$m$：
$m(t,h) \sim \frac{\partial f}{\partial h} \sim |t|^{2-\alpha-\Delta} g_m\left( \frac{h}{|t|^\Delta} \right)$
注意到在$x = h/|t|^\Delta = 0$时（零场），有
$m(t,h=0)\sim |t|^{2-\alpha-\Delta}$
得到第一个重要关系
$\beta = 2-\alpha-\Delta$
另一方面，当$x\to\infty$时（临界温度），设$g_m \sim x^p$，有
$m(t\to0,h) \sim |t|^{2-\alpha-\Delta} \left( \frac{h}{|t|^\Delta} \right)^p$
该结果应该与$t$无关，则得到$p\Delta = 2-\alpha-\Delta$，于是
$m(t\to0,h)\sim h^{(2-\alpha-\Delta)\Delta}$
就得到第二个关系
$\frac{1}{\delta} = \frac{2-\alpha-\Delta}{\Delta} = \frac{\beta}{\Delta}$
响应函数$\chi$：
$\chi(t,h) \sim \frac{\partial^2 f}{\partial h^2} \sim |t|^{2-\alpha-2\Delta} g_\chi\left( \frac{h}{|t|^\Delta} \right)$
在$x = 0$时，
$\chi(t,h=0) \sim |t|^{2-\alpha-2\Delta}$
得到第三个关系
$\gamma = 2\Delta - 2 + \alpha$

上述关系都是齐次性假设的直接结果。事实上，齐次性假设的结果可以总结为：

所有热力学量$Q(t,h)$在临界附近的奇异行为都是齐次的，并且在$t<0$和$t>0$具有相同的临界指数；
所有的（体）临界指数都可以由两个独立指数所表达，例如$\alpha$和$\Delta$；
各个临界指数可以通过$\Delta$建立联系，总结为一系列指数恒等式，例如：
- Rushbrooke恒等式：$\alpha + 2\beta + \gamma = 2$；
- Widom恒等式：$\delta-1 = \dfrac{\gamma}{\beta}$

下面是临界指数在一些$d=3$体系的实验结果和$d=2$体系的精确解，都与上述等式符合较好。

	$\alpha$	$\beta$	$\gamma$	$\delta$	$\nu$	$\eta$
$d=3$，$n=1$实验结果	0.11	0.32	1.24	4.9	0.63	0.04
$d=3$，$n=2$实验结果	-0.01	0.35	1.32	4.7	0.67	0.04
$d=3$，$n=3$实验结果	-0.11	0.36	1.39	4,9	0.70	0.04
$d=2$，$n=1$精确解	0	1/8	7/4	15	1	1/4

关联长度的发散

齐次性假设与体系宏观的自由能和从其导出的热力学函数有关，但并未涉及微观的关联函数的行为。临界点的一个重要性质是关联长度的发散，而我们又知道关联长度的发散结果，和响应函数的发散结果是一致的，因此对关联长度及其临界指数$\nu$也应该有类似的结果。

广义齐次性假设

对于关联长度$\xi$和临界指数$\nu$，齐次性假设对应于如下两个条件：

关联长度$\xi$是齐次函数：
$\xi(t,h)\sim |t|^{-\nu} g_\xi \left( \frac{h}{|t|^\Delta} \right)$
近临界时，关联长度$\xi$是体系最重要的特征长度，并且唯一决定了宏观热力学函数的奇异行为。

称为广义齐次性假设。

第二个条件意味着上一节所述的各个热力学量的奇异部分的齐次性以及具体行为，都是由关联长度所决定的结果。

具体来说，$\ln Z$是一个广延的（正比于体系宏观体积$L^d$）、无量纲的量，因此它一定具有形式

$\ln Z = g_\xi \left( \frac{L}{\xi} \right)^d + g_a \left( \frac{L}{a} \right)^d + \cdots$

其中$a$代表一些适当的微观特征长度，$g_\xi$、$g_a$等都是无量纲常数。

而第二个条件认为，关联长度唯一决定了自由能的奇异部分，意味着在近临界时，$g_\xi$项比其他任何项都压倒性地重要，此时自由能的形式是

$f_{\rm singular} \sim \frac{\ln Z}{L^d} \sim \xi^{-d} \sim |t|^{d\nu} g_f \left( \frac{h}{|t|^\Delta} \right)$

可见就得到了自由能奇异部分的齐次性假设，在这里它是作为关联长度两个条件的推论。

超标度关系

上述两个条件的结果是：

宏观热力学函数奇异部分的齐次性，可以由这两个条件自然地涌现出；
可以证明一系列有关$\nu$的指数恒等式，例如：
- Joshephson恒等式：$2-\alpha = d\nu$
这些与$\nu$相关的指数等式通常与体系维数$d$有关，称为超标度关系。

可以将上述超标度关系与上一节最后给出的表格对照，发现对于$d=3$、$d=2$的体系都符合较好。但是这些关系很显然不符合鞍点近似的结果$\alpha = 0$、$\nu = 1/2$，而鞍点近似在$d>4$体系是较有效的。

这意味着超标度关系不仅包含$d$，其成立性也与$d$有关；作为它们的原因，齐次性假设的成立性也值得仔细考察。必须解释这些超标度关系为何在低维时成立，又为何在$d>4$时被破坏。

临界关联函数和自相似性

指数恒等式

还有一个尚未讨论的临界指数是$\eta$，描述了关联函数的衰减行为。

在临界时，关联长度发散，此时没有其他的特征长度（除了材料本身的尺度）来截断关联函数的衰减长尾，因此序参量的关联函数总是以距离的幂次衰减：

$G^c_{m,m}({\bf x}) = \langle m({\bf x}) m({\bf 0}) \rangle_c = \langle m({\bf x}) m({\bf 0}) \rangle - \langle m^2 \rangle \sim \frac{1}{x^{d-2+\eta}}$

类似地，可以定义能量关联函数及其临界指数$\eta’$

$G^c_{E,E}({\bf x}) = \langle \mathcal H({\bf x}) \mathcal H({\bf 0}) \rangle_c = \langle \mathcal H({\bf x}) \mathcal H({\bf 0}) \rangle - \langle \mathcal H^2 \rangle \sim \frac{1}{x^{d-2+\eta'}}$

在远临界时，体系的关联长度$\xi$会以指数截断关联函数在$x\gg\xi$的幂次衰减，但是在关联长度内，关联函数的行为仍然近似是幂次衰减。由于体系的响应函数与连通关联函数之间的关系，可以得到

$\chi \sim \int{\rm d}^dx G^c_{m,m}({\bf x}) \sim \int^\xi \frac{ {\rm d}^dx}{x^{d-2+\eta}} \sim \xi^{2-\eta} \sim |t|^{-\nu(2-\eta)}$

类似有热容和能量关联函数的关系

$C \sim \int{\rm d}^dx G^c_{E,E}({\bf x}) \sim \int^\xi \frac{ {\rm d}^dx}{x^{d-2+\eta'}} \sim \xi^{2-\eta'} \sim |t|^{-\nu(2-\eta')}$

这就又得到两个指数恒等式：Fisher恒等式：

$\gamma = (2-\eta)\nu \qquad \alpha = (2-\eta')\nu$

标度不变性/自相似性

在关联长度内，关联函数衰减行为的幂次性，导致一个重要的结果：体系具有额外的缩放对称性

$G^c(\lambda{\bf x}) = \lambda^p G^c({\bf x})$

这表明体系在尺度的重标度${\bf x}\mapsto\lambda{\bf x}$变换下，关联函数与原来仅相差一个常系数$\lambda^p$，这在物理上意味着，关联长度内体系具有标度不变性或自相似性。这在自然界非常常见。

朗道-金兹堡理论是我们考虑一些局域对称性（例如旋转对称性）所得到的；如果我们额外要求标度不变性的条件，那么得到的结果很可能就是描述临界点的理论模式。

但是一般而言，很难直接看出这一条件如何限制有效哈密顿量的形式。一个例外是$d=2$体系中，标度不变性意味着共形对称性，因此我们可以通过研究共形不变的理论来获取许多关于这类体系的信息。但是在本章后面部分，我们将发展另一种手段来研究标度不变性对有效哈密顿量的影响——重整化群方法。

重整化群（概念）

上面关于临界指数和标度律的讨论说明，在近临界时，关联长度$\xi$是唯一重要的长度，其他微观尺度都不重要；体系的各种临界行为都由具有在$\xi$尺度内自相似性的涨落所主导。

体系的关联性主要体现在关联长度$\xi$之内，但是这些相互关联的自由度不易处理；非关联的自由度更容易。

Kadanoff利用涨落的自相似性，提出了一种手续，可以逐渐消除掉在小尺度$x\ll\xi$下关联的自由度，直到只剩下相对简单的、在$\xi$尺度的非关联自由度。这一过程就是重整化群RG（renormalization group）。

粗粒化：体系本身的格距（或朗道-金兹堡理论原本的粗粒化尺度）提供一个自然的短距离截断$a$，它限制了$\vec m({\bf x})$可能的涨落程度。RG第一步是将最小尺度变换为$ba$（$b>1$）来增加粗粒度，得到新的粗粒化场$m_{\rm cg}$就是
$m_{\rm cg}({\bf x}) = \frac{1}{b^d} \int_{B({\bf x})} {\rm d}^dx' m_{\rm old}({\bf x}')$
其中$B({\bf x})$是${\bf x}$附近的粗粒化单元。
重标度：新场的粗粒化程度比旧场更高，粗粒化尺度从$a$变为$ba$。但是若体系具有标度不变性/自相似性，那么可以通过对所有长度尺度的重标度
${\bf x}_{\rm new} \mapsto \frac{ {\bf x}_{\rm old}}{b}$
来将体系的粗粒化程度恢复为$a$。
重整化：在重标度前后，涨落的方差（从而关联函数）可能会变得不同。这可以通过引入一个场重整化因子$\zeta$来定义重整化场$m_{\rm new}$来恢复：
$m_{\rm new} = \frac{1}{\zeta} m_{\rm cg}$

通过这些步骤，从原始场$m_{\rm old}({\bf x})$得到了新场$m_{\rm new}({\bf x})$：

$m_{\rm new}({\bf x}_{\rm new}) = \frac{1}{\zeta b^d} \int_{B(b{\bf x}_{\rm new})} {\rm d}^dx' m_{\rm old}({\bf x}'_{\rm old})$

这个场具有与原始场相同的粗粒化尺度$a$和关联性，但是坐标和各种长度尺度都已经进行了重标度。

在关联长度$\xi$内的自相似性表明，重整化场的概率权重（从而哈密顿量$\mathcal H_b$）与原始场的$\mathcal H$应该“接近”。假设哈密顿量$\mathcal H$由参数$t$和$h$所决定，于是重整化前后哈密顿量的改变，可归结为参数$t$和$h$的映射：

$t_{\rm new} = t_b(t_{\rm old},h_{\rm old})\ ,\qquad h_{\rm new} = h_b(t_{\rm old},h_{\rm old})$

特别地，在原始哈密顿量参数$t$和$h$均为零的临界点处，原始场应该与重整化场在长程都一致。因此在临界点$(t=0,h=0)$处，临界哈密顿量$\mathcal H$应该具有完全的重标度和重整化的不变性，即

$t_b(t=0,h=0) = 0 \ ,\qquad h_b(t=0,h=0) = 0$

这也意味着临界点在重整化后仍处于原处；临界点是重整化群的一个不动点。

现在考虑略微偏离临界点的$(t,h)$，看在重整化后会怎样变化。注意到由于RG变换只涉及短尺度$\sim ba$上的变换，因此不会引起任何函数上的奇异性，重整化的参数一定是原参数的解析函数：

$\begin{dcases} t_b(t,h) = A(b)t + B(b)h + \cdots\\ h_b(t,h) = C(b)t + D(b)h + \cdots \end{dcases}$

注意到上面展开式中没有常数项，这是临界不动点的要求。又根据旋转对称性，在变换$m\mapsto -m$，$h\mapsto -h$，$t\mapsto t$的联合变换下，场构型的相对概率应该不变，这要求$B(b)=0$、$C(b)=0$，于是

$\begin{dcases} t_b(t,h) = A(b)t + \cdots\\ h_b(t,h) = D(b)h + \cdots \end{dcases}$

剩下的两个系数$A(b)$、$D(b)$满足：

单位重标度$b=1$时，$A(1) = D(1) = 1$；
连续重标度时，$A(b_2b_1) = A(b_2)A(b_1)$，$D(b_2b_1) = D(b_2)D(b_1)$；

这要求$A(b)$和$D(b)$一定是$b$的幂函数，于是就得到

$\begin{dcases} t_{\rm new} = b^{y_t} t_{\rm old} + \cdots\\ h_{\rm new} = b^{y_h} h_{\rm old} + \cdots \end{dcases}$

[Kardar]V.2-C.4-标度假设

齐次性假设

齐次性假设

指数恒等式

关联长度的发散

广义齐次性假设

超标度关系

临界关联函数和自相似性

指数恒等式

标度不变性/自相似性

重整化群（概念）

重整化群（形式）

高斯模式（直接解）

高斯模式（重整化群）